Родился 22 ноября 1918 года в станице Уманская (ныне Ленинградская Краснодарского края).
Окончил неполную среднюю школу. Работал слесарем-сантехником в городе Ростове-на-Дону.
Служил в Военно-Морском Флоте с ноября 1939 года. В июле 1941 года окончил Военно-морское авиационное училище имени Сталина в Ейске. Направлен на Северный флот.
Участвовал в Великой Отечественной войне с сентября 1941 года, когда был зачислен младшим лётчиком в состав 72-го истребительного авиационного полка. Николай Бокий сражался до конца войны на должностях последовательно пилота, командира звена, заместителя командира эскадрильи, был одним из учеников прославленного лётчика-североморца дважды Героя Советского Союза Б. Ф. Сафонова. Участник обороны Заполярья, много боевых вылетов совершил на отражение немецких воздушных налётов на Мурманск. Первую воздушную победу одержал в бою 4 января 1942 года, сбив немецкий Ме-109.
К началу мая 1943 года совершил 385 боевых вылетов (в том числе 15 ночью), в 30 воздушных боях сбил лично 9 самолётов противника и 1 в группе.
Указом Президиума Верховного Совета СССР «О присвоении звания Героя Советского Союза начальствующему и рядовому составу Военно-Морского флота» от 24 июля 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленными при этом отвагу и геройство» гвардии младшему лейтенанту Бокию Николаю Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Чуть ранее он был удостоен одной из наград Великобритании — медали «За лётные боевые заслуги».
За годы Великой Отечественной войны капитан Н. А. Бокий выполнил 425 боевых вылетов, провёл 41 воздушный бой, сбил 17 самолётов лично и 1 в группе.
После войны продолжил службу в ВВС ВМФ. С сентября 1945 года служил в должностях заместителя командира и командира эскадрильи 11-го гвардейского истребительного авиационного полка ВВС Черноморского флота. С июля 1948 года по сентябрь 1950 года — командир эскадрильи 241-го истребительного авиационного полка на том же флоте.
С апреля 1961 года гвардии полковник Бокий Н. А. — в запасе.
С 1965 года жил в городе Ростове-на-Дону и работал в Северо-Кавказском управлении гражданской авиации: диспетчер, с 1970 года — начальник отдела движения.
Умер 9 сентября 1995 года, похоронен на Северном кладбище в Ростове-на-Дону.